Gábor Szego [Sze1] in 1948 presented four different elegant proofs of the famous Turán inequality established for Legendre polynomials and extended the result to ultraspherical (or Gegenbauer), Laguerre and Hermite polynomials. Turán's inequality and Szego’s results have generated considerable interest, and shortly after 1948, analogous results were obtained by several authors for other classical orthogonal polynomials (for example Jacobi, Appell, Pollaczek, Lommel, Askey-Wilson) and special functions (for example Bessel, modified Bessel, q-Bessel, Riemann zeta functions). This classical inequality still attracts the attention of mathematicians and it is worth mentioning that recently the above Turán inequality was improved by Eugen Constantinescu [Co], and further by Alzer Horst et al. [AGKL] (for more details see Remark 1.4.1). This doctoral thesis is a further contribution to the subject and contains certain new Turán type inequalities for some special functions. The thesis is divided into four chapters. In the first chapter we have established some Turán type inequalities for Gaussian hypergeometric functions and for generalized complete elliptic integrals. These results completements the earlier result of Turán proved for Legendre polynomials. Moreover, we have shown that there is a close connection between a Turán type inequality and a sharp lower bound for the generalized complete elliptic integral of the first kind. In section 1.3 we proved a recent conjecture of Toshiyuki Sugawa and Matti Vuorinen [SV] related to estimates of the hyperbolic distance of the twice punctured plane, while in section 1.4, in order to improve some results from section 1.1, we have established a Turán type inequality for Gaussian hypergeometric functions. This result complements the earlier result of Gábor Szego [Sze2] and George Gasper [Ga2] proved for Jacobi polynomials. Moreover, at the end of this section we presented some open problems, which may be of interest for further research. In the second chapter we extended some known elementary trigonometric inequalities (like Lazarevic type, Wilker), and their hyperbolic analogues to Bessel and modified Bessel functions of the first kind. In order to generalize the Turán type inequalities established for Bessel and modified Bessel functions we presented some new monotonicity and convexity properties of some functions involving Bessel and modified Bessel functions of the first kind. For instance, we showed that the famous result of Árpád Elbert [El] on the concavity of the zeros of Bessel functions of the first kind (with respect to the order) can be used to improve the Turán type inequalities established for modified Bessel functions of the first kind. We also deduced some Turán type and Lazarevic type inequalities for the confluent (or Kummer) hypergeometric functions. Chapter 3 is devoted to the study of some Turán type inequalities for the probability density function of some univariate distributions, like the noncentral chi-squared distribution, non-central chi distribution and Student distribution, respectively. Moreover, in this chapter we improved a result of Andrea Laforgia and Pierpaolo Natalini [LN2] concerning a Turán type inequality by showing that the modified Bessel function of the second kind is log-convex with respect to its order. As an application of some results deduced in sections 2.1 and 3.2, in section 3.3 we presented a new very simple proof for the monotonicity of a product of two modified Bessel functions of different kind. This result complements and improves a recent result of Robert Penfold and collaborators [PVG], which was motivated by a problem in biophysics. Finally, in chapter 4 we studied the monotonicity properties of some functions involving the Mills' ratio of the standard normal law. From these monotonicity properties we deduced an interesting chain of inequalities for Mills' ratio, and we have shown that the Mills' ratio is strictly completely monotonic. At the end of this chapter we presented some Turán type inequalities for Mills' ratio. Turán Pál 1941-ben Legendre polinomokra igazolt egyenlotlenségére 1948-ban Szego Gábor négy elegáns bizonyítást adott, és kiterjesztette az eredményt ultraszférikus, Laguerre, Hermite és Jacobi polinomokra. Ezt követoen, a Turán Pál és a Szego Gábor eredményeinek hatására az 50-es és a 60-as években matematikusok serege igazolta, hogy a legtöbb (ortogonális) polinom (mint például Appell, Bernstein-Szego, Hermite, Jacobi, Jensen, Pollaczek, Lommel, Laguerre, Askey-Wilson, Gegenbauer), illetve speciális függvény (mint például Bessel, q-Bessel, módosított Bessel, Riemann zeta) teljesít bizonyos Turán típusú egyenlotlenségeket. Napjainkban ismét elotérbe kerültek a Turán típusú egyenlotlenségek, más speciális függvények kapcsán. A disszertációban különbözo speciális függvényekre vonatkozó Turán típusú egyenlotlenségekkel foglalkoztunk. Az elso fejezetben a következo témákat tárgyaltuk: az elliptikus integrálokra és a Gauss-féle hipergeometrikus sorra vonatkozó Turán típusú egyenlotlenségek, elliptikus integrálokra vonatkozó alsó és felso korlátok, az általánosított Grötzsch gyuru függvény paraméter szerinti viselkedése és a Poincaré metrika elliptikus integrálokkal való közelítése. Itt megjegyezzük, hogy ezek az eredmények kiegészítik a Legendre és Jacobi polinomokra igazolt klasszikus eredményeket. Pontosabban, az 1.1.1 Tétel kiegészíti Turán Pál Legendre polinomokra igazolt eredményét [Tu], míg az 1.4.1 Tétel kiegészíti Szego Gábor [Sze1] és George Gasper [Ga2] Jacobi polinomokra igazolt eredményeit. A fejezet végén felsoroltunk néhány a kutatás során nyitva maradt kérdést a hipergeometrikus és a gamma függvényekkel kapcsolatban. A második fejezetben Bessel és módosított Bessel függvényekre vonatkozó Turán típusú egyenlotlenségekkel, és azok azonnali alkalmazásaival foglalkoztunk. Alkalmaztuk a megfelelo Turán típusú egyenlotlenségeket trigonometrikus és hiperbolikus függvényekre felírt egyenlotlenlenségek általánosításához. A fo eredmények a 2.1.1 Tétel és 2.2.1 Tétel, amelyekben a fent említett egyenlotlenségek mellett a Bessel és a módosított Bessel függvényekre megadtunk néhány fontos monotonitási és konvexitási tulajdonságot. Itt fontos szerepet játszik Elbert Árpád [El] híres eredménye, miszerint az elsofajú Bessel függvények gyökei konkávak a paraméterük szerint. A harmadik fejezetben a fontosabb egyváltozós eloszlások suruségfüggvényeinek paramétereik szerinti konkavitását vizsgáltuk. Az elso alfejezetben, az Edward Neumannal közösen igazolt eredmények [BN] segítségével, igazoltuk, hogy a nemcentrált khi és khi négyzet eloszlások suruségfüggvényeire is fennállnak bizonyos Turán típusú eredmények, akárcsak az elsofajú módosított Bessel függvényekre. Ugyancsak igazak lesznek bizonyos Turán típusú egyenlotlenségek a Student eloszlás suruségfüggvényére is. Mi több, a második alfejezetben igazoltuk, hogy a másodfajú módosított Bessel függvények logaritmikusan konvexek a paraméterükre nézve. Végül, a harmadik alfejezetben az elobb igazolt Turán típusú egyenlotlenségeket használtuk arra, hogy egy lényeges egyszerubb bizonyítást adjunk a különbözo fajú módosított Bessel függvények szorzatának monotonitására. Ez a monotonitási tulajdonság, amely egy biofizikai probléma kapcsán merült fel, finomítja Robert Penfold és társai [PVG] eredményét. Ezenkívül érdemes megjegyezni, hogy a 3.1 alfejezet eredményeit Yin Sun és a szerzo [SB] eredményesen használta a radarjelek vizsgálatánál használatos általánosított Marcum Q-függvény vizsgálatánál. Végül, a negyedik fejezetben a matematikai statisztikában használatos standard normál eloszlás Mills arányára vonatkozó monotonitási tulajdonságokkal és Turán típusú egyenlotlenségekkel foglalkoztunk. Itt fontos szerepet játszik a Pinelis-féle ún. monoton l’Hospital szabály [Pi2], amely napjainkban egy nagyon fontos alapeszköz, többek között a kvázikonformis analizísben és az analítikus egyenlotlenségek vizsgálatánál.