Lakatos, PiroskaHannusch, Carolin2017-12-142017-12-142017http://hdl.handle.net/2437/246488Legyen p egy prímszám és F egy véges p karakterisztikájútest, i.e. F= GF(pm) valamilyen m egész számra. A p elemu˝ testet Fpvel jelöljük. Ha G véges Abel p-csoport, akkor az F[G] csoportalgebra moduláris, továbbá F[G] egy p karakterisztikájú kommutatív gyu˝ru˝. Egy ilyen csoportalgebra Jacobson-radikálja a csoportalgebra (egyetlen) maximális ideálja. A Jacobson radikált J(F[G])-vel vagy röviden J-vel jelöljük. Kutatásunk több klasszikus eredményen alapszik. Berman [B] mutatta meg 1967-ben, hogy a bináris Reed-Muller kódok (RMkódok)nevezetes ideálok(radikálhatványok)az F2[G] csoportalgebrában, aholGelemiAbel2-csoport. 1968-ban Kasami et al.[KLP1] bevezette az Általánosított Reed-Muller kódokat(GRM-kódok),amelyekre Charpin [C] hasonló kapcsolatot mutatott megFp felett. Jennings [J] dolgozta ki az F[G] csoportalgebra radikáljának struktúráját. Kés˝obb Landrock és Manz [LM] megmutatta a kapcsolatot Jennings eredménye és Berman és Charpin eredményei között. A legtöbb eredményünk esetében p = 2, de a dolgozatban általános p-re vonatkozó állításokat is bizonyítunk. Esetünkben a G csoport mindig véges Abel p-csoport. Ebben a dolgozatban olyan lineáris kódokat konstruálunk és vizsgálunk, melyek ideálok a megfelel˝o moduláris csoportalgebra radikáljában. Továbbá vizsgáljuk ezen kódok tulajdonságait. Let p be a prime number and F be a finite field of characteristic p, i.e. F = GF(pm) for some integer m. We will use the notation Fp for the field of p elements. If G is a finite abelian p-group, then F[G] is a modular group algebra and F[G] is a commutative ring of characteristic p. The Jacobson radical of such a group algebra is the unique maximal ideal. We will denote the Jacobson radical of F[G] by J(F[G]) or shortly by J. Our work is based on several classical results. In 1967, Berman [B] recognized that the binary Reed-Muller codes (RM-codes) are ideals in the group algebra F2[G], where G is an elementary abelian 2-group. Based on some properties of the Generalized Reed-Muller codes (GRM-codes) discovered by Kasami et al. [KLP1] in 1968, Charpin [C] proved that a similar fact holds overFp. Jennings [J] worked out the structure of the radical of a group algebra F[G]. The relation between Jennings result and the results of Berman and Charpin was shown by Landrock and Manz [LM]. Some results in this thesis are concerning the binary case, i.e. p = 2, but we will also introduce some results for arbitrary prime numbers p. Further, if not stated otherwise, G is a finite abelian p-group. In this dissertation we construct and characterize linear codes which are ideals in the radical of the corresponding modular group algebras.92humonomial codesradicalmonomiális kódokradikálMatematika- és számítástudományokTermészettudományok