Preserver problems and separation theorems

Dátum
Folyóirat címe
Folyóirat ISSN
Kötet címe (évfolyam száma)
Kiadó
Absztrakt

A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.


The present dissertation contains results about preserver problems on different mathematical structures and separation problems. In Chapter 1 we study preserver transformations on density operators (i.e. positive operators with unit trace) that play an important role in quantum information theory. In the main theorem of Chapter 1 we describe all transformations on density operators that preserve the quantum f-divergence with respect to an arbitrary strictly convex function f defined on the non-negative real line. In Chapter 2 we substantially extend and unify former results on the structure of surjective isometries of spaces of positive definite matrices obtained in a paper of Lajos Molnár. The novelty in our result is that we consider not only true metrics but so-called generalized distance measures which are parameterized by unitarily invariant norms and continuous real functions satisfying certain conditions. In Chapter 3 the general forms of surjective isometries of the space of all generalzied distribution function on R are determined with respect to Kolmogorov-Smirnov metric. Chapter 4 and Chapter 5 are devoted to the investigation of so-called separation problems. It is a well-known separation theorem that if a convex and a concave function are given such that the convex function is “above” the concave one, then there exists an affine function between them. Moreover, those pairs of real functions that can be separated by an affine function was characterized via double inequalities. In Chapter 4 we generalize this result. More precisely, we characterize such pairs of real valued functions that can be separated by a member of a given convex Beckenbach family of order n. In fact, the characterization of those pairs of real functions that can be separated by an affine function was preceded by the characterization of the existence of a convex separator between two real valued functions. The corresponding result is due to Baron, Matkowski and Nikodem. In Chapter 5 we give an analogous result in the case when the convexity notion induced by so-called regular pairs.

Leírás
Kulcsszavak
preserver problems, megőrzési problémák, f-divergence, f-divergencia, generalized distance measures, általánosított távolságmértékek, Kolmogorov-Smirnov distance, Kolmogorov-Smirnov távolság, separation theorems, szeparációs tételek, Chebyshev systems, Csebisev rendszerek, Beckenbach families, Beckenbach családok, generalized convexity, általánosított konvexitás
Forrás