Általánosított kúpszeleten az n-dimenziós valós koordinátatér olyan alakzatát értjük, melynek pontjaira egy rögzített K halmaz pontjaitól mért átlagos távolság ugyanakkora. A K halmaz elemeit nevezzük fókuszoknak. A fókuszok nem feltétlenül véges számosságú ponthalmazt alkotnak, mint ahogy a távolságmérés során sem feltétlenül az euklideszi távolság játszik szerepet. Mindezeken túl az átlagolási eljárásra vonatkozóan is különbözőképpen járhatunk el: súlyozott (de véges) összegek, integrál stb. Ebbe a koncepcióba a szakirodalomban fellelhető általánosítások többsége beilleszthető, mint például a multifokális ellipszisek.

A disszertációban az általánosított kúpszeletek egy differenciálgeometriai és egy tomográfiai alkalmazását mutatjuk be. A differenciálgeometriai alkalmazáshoz a fókuszhalmazt sokaságstruktúrával ruházzuk fel. Általánosított kúpszeletek segítségével igazolható, hogy ha egy összefüggő Riemann-sokaságon adott metrikus, de nem feltétlenül torziómentes lineáris konnexió holonómia csoportjának lezártja nem tranzitív az érintőterek egységgömbjein, akkor ez a konnexió (szigorú értelemben) Berwald-metrizálható.

Ha az általánosított kúpszeletfüggvény definíciójában az euklideszi távolság helyett az ún. taxicab/Manhattan normából származó távolságfüggvényt használjuk, akkor az átlagos távolságot mérő függvénynek és szinthalmazainak (az általánosított kúpszeleteknek) a geometriai tomográfiában vehetjük hasznát. Kiderül, hogy két kompakt halmazhoz tartozó általánosított kúpszeletfüggvények pontosan akkor egyeznek meg pontonként, ha koordináta-röntgenfüggvényeik majdnem mindenütt egybeesnek. Ez lehetőséget ad számunkra, hogy egy elméleti algoritmust adjunk síkbeli hv-konvex (horizontálisan és vertikálisan konvex) halmazok rekonstruálására a koordináta-röntgenfüggvényeik alapján. Ez az algoritmus később megfogalmazható egy egészértékű lineáris programozási feladatként.

Generalized conics are the level sets of functions measuring the average distance from a given set of points K in the n-dimensional Euclidean coordinate space. Elements of the set K are called foci. The set K is not necessarily finite and the distance may also be different from the Euclidean distance. Moreover we can choose different types of averaging processes like taking finite weighted sums or integration. Most generalizations of conics found in the literature (e.g. polyellipses) fit into this concept.

Applications of generalized conics in differential geometry and geometric tomography are presented in this PhD dissertation. For the application in differential geometry we consider the set of foci as manifolds. In a connected Riemannian manifold, if the closure of the holonomy group of a metrical, but not necessarily torsion-free linear connection is not transitive on the unit sphere in the tangent space then the manifold can be changed into a non-Riemannian generalized Berwald manifold by generalized conics with respect to the Riemannian structure. If we use the distance function induced by the taxicab norm instead of the Euclidean distance in the definition of generalized conic functions, then we can find an application in geometric tomography. The generalized conic functions corresponding to two compact sets coincide pointwise if and only if the coordinate X-rays coincide almost everywhere. This result provides us to give an algorithm for the reconstruction of planar hv-convex (horizontally and vertically convex) sets by their coordinate X-rays. This algorithm can be turned into the solution of a linear integer programming problem.