Jelen dolgozatban egy gyakran Pillainak tulajdonított klasszikus számelméleti problémát tanulmányoztunk, melyet a következőképpen lehet megfogalmazni. Igaz-e, hogy bármely legalább 2 egymást követő egész szám között létezik olyan, mely az összes többihez relatív prím? Ez a probléma mélyen gyökerezik mind a hosszú prímhézagokban, mind az egymást követő egészek szorzataira vonatkozó Diofantikus alkalmazásokban. Az első átfogó leírását adjuk a már ismert eredményeknek és kiterjesztjük a problémát egészek sorozatainak egymást követő tagjaira. Számos ineffektív és effektív eredményt nyerünk többek között magasabb rendű számtani sorozatokra és rekurziókra. Zárásként egy lehetséges Diofantikus alkalmazást vizsgálunk.

In the present thesis, we studied a classical number theoretical problem, often attributed to Pillai, which can be formulated as follows. Is it true that among any at least 2 consecutive integers there always exists one which is coprime to all the others? This problem is deeply rooted in both the study of long prime gaps and Diophantine applications concerning products of consecutive integers. We give the first comprehensive survey of known results and extend the scope of the problem to sets of consecutive terms of integer sequences. We obtain many ineffective and effective results on higher-order arithmetic progressions and recurrences sequences. As a closure to the thesis we present a possible Diophantine application.