Ezen disszertációban egy N csúcs interakcióján alapuló általános gráffejlődési mechanizmust definiálunk és a folyamat eredményeként létrejövő véletlen gráf modellt tanulmányozzuk. Célunk a modellt jellemző mennyiségek aszimptotikus viselkedésének vizsgálata és meghatározása. A dolgozat két fő részből áll. Az első részben megadjuk a vizsgált modell pontos matematikai definícióját és ismertetjük a modellre vonatkozó fő eredményeinket, több esetben bizonyítjuk annak skálafüggetlenségét. Skálafüggetlenség alatt azt értjük, hogy az aszimptotikus fokszámeloszlás hatványrendben cseng le. A dolgozat második részében a modell egy speciális esetére, az N-pontos modellre vonatkozóan ismertetjük és igazoljuk további új eredményeinket. A bizonyítások során főként martingálelméleti eredményeket alkalmazunk.

In this dissertation we define and examine a new random graph evolution mechanism based on the interaction of N vertices which yields a general random graph model. Our aim is to study the asymptotic behaviour of the graph. The dissertation consists of two parts. In the first part we give the mathematical definition of a new evolving random graph model. We present our main results and prove scale-free property for our model. Scale-free property means that the asymptotic degree distribution has a power law tail. In the second part we examine the N-interactions model which is a particular case of the general random graph model introduced in the first part of the dissertation. We present and prove our new results for the N-interactions model. The proofs presented in this dissertation are based on discrete time martingale theory.