Magyarországon a tehetséggondozás és versenyeztetés igen komoly múltra tekint vissza, mindkét területen jelentős hagyományokkal rendelkezünk. Az egyik célom az volt, hogy a középiskolai versenyeknek, a diofantikus egyenletek témakörben kitűzött feladatait több szempontból megvizsgáljam, és néhány válogatott feladat kapcsán bemutassam, hogyan alkalmazhatóak a felsőbb matematikában megismert módszerek, illetve milyen módon hasznosíthatóak ezek a tehetséggondozásban, szakköri munkában. Az ismert versenyfeladatokat számos saját feladattal is kiegészítettem. Az ilyen típusú feladatok alkalmasak arra, hogy felkeltsék a diákok érdeklődését, betekintést nyújtsanak egy-egy probléma mélyebb gyökereihez, illetve fejlesszék az általános problémamegoldó képességet. Fontos feladatomnak tekintettem továbbá, hogy a különböző megoldásoknak megadjam az összehasonlítását, értékeljem azokat, megvizsgáljam a kínálkozó általánosítási lehetőségeket is. A 2. és 3. fejezetben a cél elsősorban az volt, hogy elemi módszerekkel megmutassam, hogy két különböző binom(n,2) alakú binomiális együttható számtani, mértani és harmonikus közepe végtelen sokszor lehet ismét ilyen alakú binomiális együttható. A 4. fejezetben ismételten diofantikus egyenletek megoldásán keresztül mutatom be, hogy milyen jellegű számelméleti problémák esetén alkalmazhatóak sikerrel a Gauss-egészek a középiskolai matematika szakkörön, vagy akár egy matematikaversenyen. Az 5. fejezetben szereplő feladatkavalkád célja, hogy a különféle megoldásokon, általánosításokon keresztül bemutassa a diofantikus egyenleteknél alkalmazott módszerek sokszínűségét, minél szélesebb körből választva a számelméleti ötleteket, fogásokat. A 6. fejezet arról a -- hét foglalkozásból álló -- szakköri tevékenységről szól, amelyet 2018. november közepétől kezdődően két hónapon keresztül végeztem az iskolámban, a budapesti Baár-Madas Református Gimnáziumban tehetséges, a matematika iránt különösen fogékony diákok közreműködésével.

In Hungary, talent management and competitions go back to a long way, with a significant heritage in both areas. One of my objectives was the manifold examination of Diophantine equation problems in high school competitions and to demonstrate the applicability of higher mathematical methods through a few selected problems, and how these can be used in talent management and study group sessions. The well-known competition challenges are supplemented by many of my own assignments. I strongly believe that such problems are suitable to wake students' interest, to provide a deeper insight, and to develop problem solving skills in general. One of my priorities is to compare and evaluate various solutions and to examine generalizations. The primary aim of Chapter 2 and 3 was to demonstrate with elementary methods that the arithmetic, geometric, and harmonic means of two distinct binomial coefficients binom(n,2) are of the same form infinitely often. In Chapter 4, I continue to use Diophantine equations to show to what type of number theory problems can Gaussian integers be applied in high school study groups or at a mathematics competition. The aim of this rich set of problems in Chapter 5 is to demonstrate the diversity of tools used for Diophantine equations by presenting different methods, generalizations, ideas, and useful ’’tricks’’. Chapter 6 explores a study group activity of seven sessions I conducted for two months in my school, Baár-Madas Reformed Comprehensive Secondary School, starting in mid-November 2018. The study group is usually attended by students with excellent abilities, who are especially interested in solving mathematical problems.