Kivonat

Értekezésemben analitikus geometriai módszerek összehasonlító vizsgálatával foglalkozom, síkbeli koordinátarendszerekre és koordinátákra korlátozva. Kétfajta vonatkoztatási rendszert használok. Az egyik a síkbeli affin koordinátarendszer, a másik egy adott háromszög. Az 1. fejezetben egy affin koordinátarendszerhez kötve három koordináta-fajtát értelmezek, éspedig a derékszögű, a kontravariáns és a kovariáns koordinátákat. Egy síkbeli háromszöghöz kapcsolva pedig négy koordináta-típust vezetek be: a valódi trilineáris, a trilineáris, a baricentrikus és a normált baricentrikus koordinátákat. A 2. fejezetben levezetem az összes transzformációs képletet, amelyeknek segítségével át lehet térni az egyik vonatkoztatási rendszerből a másikba illetve bármely koordináta-típusból bármely másikra. Az értekezés többi részében lényegében az itt levezetett eredményeket alkalmazom. A 3. fejezetben a síkmértani alakzatok és a közöttük fennálló kapcsolatok algebrai jellemzését adom meg mindkét vonatkoztatási rendszerben és az előbb felsorolt koordináta-típusokban. Ennek a fejezetnek két sajátosságát emelném ki: az egyik az, hogy a geometriai tulajdonságok és feltételek analitikus leírása egységes tárgyalásban található meg benne. A másik pedig, hogy ennek következményeként lehetőség nyílik az algebrai összefüggések összehasonlítására, aminek az az azonnali előnye, hogy mérlegelhető-eldönthető egyik vagy másik feltétel relatív bonyolultsága, ami a számítások szempontjából nem jelentéktelen. Ugyancsak itt derül ki az is, hogy mely feltételek koordináta-függetlenek, azaz mely feltételek maradnak formálisan változatlanok a felsorolt koordináta-fajtákra. A 3. fejezet csupán illusztrációként szolgál arra, hogy a 2. fejezet eredményeit felhasználva hogyan lehet a különböző algebrai feltételeket más-más koordinátafajtákra felírni. A 4. fejezetben különböző alkalmazásokat mutatok be. A kúpszeletek egyenletei különböző koordinátarendszerekben és koordinátákban jól ismertek. A 4.1. alfejezetben bemutatok közülük néhányat. A 4.2.-ben pedig részletesen kifejtem és bizonyítom, hogy az ellipszis és a hiperbola egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében formálisan megegyezik a kanonikus egyenletükkel. A parabolánál a tengelyirány és egy érintőirány koordinátarendszerében lesz a parabola egyenlete formálisan ugyanaz, mint a kanonikus egyenlete. A hiperbolának megadom az egyenletét aszimptotáinak koordinátarendszerében is. Ezek az eredmények átvihetők az érintők egyenleteire is. Igazolom, hogy az érintők egyenleteit a konjugált irányok koordinátarendszerében szintén az ún. duplázási eljárással kapjuk, mint a kanonikus egyenletek esetében. A 4.2. alfejezet utolsó pontjában nyolc, kúpszeletre vonatkozó, tulajdonságot analitikusan bizonyítok, ferdeszögű koordinátarendszereket használva. Az ismert elemi bizonyításokat összehasonlítva az itt található analitikus geometriai bizonyításokkal világosan kiderül, hogy ez utóbbiak alkalmazása bizonyos helyzetekben előnyösebb. A 4.3. alkalmazásban az egyenlő szárú (derékszögű) hiperbola különböző formájú egyenletével foglalkozom és részletesen bizonyítom, hogy elsőfokú polinomokkal megadott racionális függvény grafikus képe egyenlő szárú hiperbola. Egyúttal levezetem egy ilyen hiperbola konjugáltjának egyenletét is. A 4.4. alkalmazásban az általánosított Fermat-pontok metrikus jellemzése baricentrikus koordináták alkalmazásával történik. Ebben az alfejezetben általánosítom a Fermat-pontokat, abban az értelemben, hogy egy adott háromszög oldalaira egyenlő oldalú háromszögek helyett egymással hasonló háromszögeket építek. Ez az általánosítás és a Fermat-pontok metrikus jellemzése hangsúlyozottan a trigonometriára épül. Ennek következtében az analitikus bizonyításon belül sok trigonometriai feltételes azonosság alkalmazására is sor kerül. A kapott eredmények elemi geometriai úton is levezethetők, de hosszadalmasabb, bonyolultabb számításokkal. Az 4.5. alkalmazásban egy sejtés bizonyításával foglalkozom, amely Clark Kimberlingtől származik: Ha az ABC háromszög hegyesszögű, akkor talpponti háromszögének érintő és érintő háromszögének talpponti háromszöge homotétikusak.

Abstract

In my dissertation I deal with the comparative study of analytic geometric methods restricted to plane coordinate systems and coordinates. I use two types of reference systems. This first one is the plane affine coordinate system, while the second one is a given triangle. In the first chapter, related to the affine coordinate system I define three types of coordinates, namely Cartesian, contravariant and covariant coordinates, while related to a given triangle I define four types of coordinates, namely real trilinear, trilinear, barycentric and normed barycentric coordinates. In the second chapter I prove all the transformational formulas, which provide the possibility to switch between the reference systems, respectively from any type of coordinates to any other type of coordinates. In essence the rest of the dissertation is about the application of the results of this proof. In the third chapter I provide the algebraic properties of the relationships of plane figures in both reference systems in the above mentioned types of coordinates. The peculiarities of this chapter are that the analytic description of the geometric properties and conditions appears in a unified discussion and that it is possible to compare the algebraic connections whereby the immediate advantage is that you can decide how complicated each condition is, which is important from the point of calculations. Likewise, this is the chapter where those conditions emerge that are independent of coordinates, namely which conditions remain formally the same in the above mentioned types of coordinate. Thus the third chapter is just an illustration of how the results of the second chapter can be used in noting the different algebraic conditions for different types of coordinates. The fourth chapter includes the practical applications. The equations of conic sections in different coordinate systems and coordinates are well-known. I show some in subchapter 4.1., while in 4.2. I fully explicate and prove that the canonical equation of the ellipsis and hyperbola is formally the same as their equation in the conjugate directions coordinate system. Connected to the parabola I found that its canonical equation is formally the same equation as in the axis directions and tangent directions coordinate systems. In the case of the hyperbola I also provide its equation in its asymptotes’ coordinates. These results can be transferred to the equations of the tangents. I prove that the equations of tangents in the conjugate directions coordinate system is also drawn with the help of so called doubling procedure as in the case of the canonical equations. In the last section of subchapter 4.2. I analytically prove some properties of eight conic sections using oblique coordinate systems. Comparing the well-known elementary proofs with these analytic geometric proofs, it clearly comes out that the application of the latter is more preferable in some situations. In the application in subchapter 4.3. I deal with the different forms of the equation of the rectangular hyperbole and I prove in detail that the graph of a function of one variable given with a first-grade rational polynom is a rectangular hyperbola. I also deduce the conjugate equation of such a hyperbole. In the application in subchapter 4.4. the properties of the generalized Fermat points and their metric properties are presented with the help of barycentric coordinates. In this subchapter the Fermat points are generalized to the effect that I construct similar triangles instead of equilateral triangles on the sides of the triangle. This generalization and the metric properties of Fermat points are based on trigonometry; thus a lot of conditional trigonometric identities are used in the analytic proof. The results can be deduced using elementary geometry but the calculations are longer and more complicated. In the application in subchapter 4.5. I deal with the proof of Clark Kimberling’s conjecture: If triangle ABC is acute angled, then its intouch-of-orthic and orthic-of-intouch triangles are homothetic.