Diofantikus egyenletek numerikus megoldása

Abstract

A diofantikus egyenletek elméletének három fő alapproblémája a megoldhatóság eldöntése, a megoldások számának meghatározása és végül az összes megoldás előállítása. Mint ismeretes, Hilbert tizedik problémájára a 70-es évek elején Matijaszevics negatív választ adott. Tehát nem létezik univerzális algoritmus tetszőleges diofantikus egyenlet megoldhatóságának az eldöntésére és ennek következtében nincs az összes megoldás előállítására szolgáló univerzális eljárás. Igy a diofantikus egyenletek modern elméletében centrális szerepet játszanak az alkalmazások szempontjából fontosabb egyenletosztályokra vonatkozó effektív végességi eredmények, melyek lehetővé teszik az összes megoldás megkeresését / és ezzel egyben a megoldhatóság eldöntését is /. Az ilyen tipusú kutatásokat, melyek a 60-as évek közepén kezdődtek, Baker algebrai számok logarimusainak lineáris formáira nyert nevezetes effektív becslései indították el. Módszerének alkalmazásához általában szükséges az alaptartomány bővítése és bizonyos effektivizálási kérdések tisztázása az algebrai számelméletben. Elsősorban ezen igénynek köszönhetően alakult ki ujabban az effektív algebrai számelmélet.