A Takagi függvény tulajdonságai

Abstract

A szakdolgozatban a Teiji Takagi által 1901-ben leírt, mindenhol folytonos, de sehol sem differenciálható Takagi függvényt vizsgáljuk. Az első fejezet tudománytörténeti hátteret nyújt, részletesen bemutatja a függvény konstrukcióját, valamint annak alapvető tulajdonságait. Ismertetünk több eltérő definíciót a függvényhez, és bebizonyítjuk ezek ekvivalenciáját, a függvény folytonosságát és sehol sem differenciálhatóságát, illetve kitérünk a nívóhalmazokra is. A második fejezet a függvény kapcsolatát mutatja be a közelítőleg konvex függvények elméletével. Szemléltetjük a Takagi függvény megjelenését a Jensen-egyenlőtlenségben mint hibatag, továbbá belátjuk, hogy ez a becslés tovább nem finomítható.