Halmazok m-konvexitásának vizsgálata számítógéppel

Abstract

A dolgozat a G. Toader által 1985-ben bevezetett m-konvexitás fogalmának geometriai és számítógépes vizsgálatával foglalkozik, véges ponthalmazok m-konvex burkára összpontosítva. A meglévő algebrai eredményekre támaszkodva iteratív geometriai módszerrel írjuk le a burok szerkezetét 1, 2, 3 és n pontra. A dolgozat többek között bevezeti az m-szimplex és az m-konvex metszéspont általánosított fogalmát is. A főeredmény szerint n általános helyzetű pont m-konvex burka n darab gúla-szerű politóp uniója az origó kihagyásával, amelynek lezártja pontosan 2 az n-ediken csúcsot tartalmaz. Ebből következik a Carathéodory-tétel m-konvex változatának pontosítása: az origó kitüntetett szerepe miatt n dimenzióban elegendő n pont a burok előállításához, szemben a klasszikus n+1-gyel. A bizonyításokat Maple 2019-ben készített paraméteres vizualizációk kísérik, amelyek a korábbi Mathematica-alapú animációk kiterjesztett Maple-változataiként is értelmezhetők. A dolgozat célja a meglévő eredmények szemléletes újrafogalmazása mellett új összefüggések feltárása, amelyek további kutatásokat ösztönözhetnek az általánosított konvexitások területén.