Generalized fractals in generalized contexts

Abstract

Az értekezés a fraktálok vizsgálatával foglalkozik a fixpontelmélet keretében, és a klasszikus Hutchinson-féle megközelítést általánosabb leképezésosztályokra és terekre terjeszti ki. A dolgozat központi fogalma az invarianciaoperátor, amelyhez tartozó fixpontok a vizsgált fraktálszerkezeteket reprezentálják. Az első rész egy elemi fraktálelméletet épít fel tisztán halmazelméleti környezetben monoton és folytonos leképezések segítségével. A Knaster–Tarski-féle fixponttétel és a Kantorovics-iteráció alkalmazásával meghatározhatók az invarianciaegyenlet minimális megoldásai, amelyek konstrukciós eljárást kínálnak fraktálok előállítására és approximációjára. A dolgozat ezt követően a Hausdorff-féle nemkompaktsági mértékre épülő alternatív módszert mutat be, amely elkerüli a klasszikus Blaschke-féle teljességi tétel alkalmazását. Ezzel egzisztencia és unicitási eredmények nyerhetők kondenzáló leképezések, illetve Matkowski-kontrakciók által generált fraktálokra metrikus terekben. A vizsgálatok ezt követően szemimetrikus terekre terjednek ki. A reguláris szemimetrikus és metrikus terek közötti uniform ekvivalencia felhasználásával a klasszikus fraktálelmélet általánosabb környezetben is kiterjeszthető. Az értekezés fraktál tételeket bizonyít teljes és reguláris szemimetrikus tereken értelmezett általánosított fraktálokra. A dolgozat továbbá az általánosított fraktálok Hausdorff-dimenzióját is vizsgálja. Egy dimenzióképlet-változatot vezet be, amelyben a kontrakciós tényezők szerepét az összehasonlító függvények jobb felső Dini-deriváltjai veszik át. Az eredmény a Hutchinson-féle klasszikus dimenzióelmélet természetes általánosításaként szükséges feltételt szolgáltat az általánosított fraktálok dimenziójára. Végezetül az értekezés egy axiomatikus keretrendszert dolgoz ki halmazfüggvények és burokoperátorok segítségével. Ez az egységes megközelítés lehetővé teszi különböző fixponttételek és fraktáleredmények közös kezelését, valamint bemutatja, hogy a Hausdorff-féle nemkompaktsági mérték szerepe általánosabb elvek mentén is értelmezhető. Alkalmazásként a nemsűrűségi mértékhez kapcsolódó fixpont- és fraktáltételek is tárgyalásra kerülnek. This thesis investigates fractals through the framework of fixed point theory, extending the classical Hutchinson approach to more general mappings and spaces. The central object of study is the invariance operator associated with a family of self-maps, whose fixed points represent fractal structures. First, an elementary theory of fractals is developed in a purely set-theoretical setting using monotone and continuous mappings. By combining the Knaster–Tarski Fixed Point Theorem with the Kantorovich iteration, minimal invariant sets are characterized, providing a constructive approach to fractal generation and approximation. The thesis then introduces an alternative method to fractal existence results that avoids the classical Blaschke Completeness Theorem. Using the Hausdorff measure of noncompactness, existence and uniqueness results are established for fractals generated by condensing mappings and Matkowski contractions in metric spaces. The framework is further generalized to semimetric spaces. By exploiting the connection between regular semimetric spaces and metric spaces through uniform equivalence, classical fractal theory is extended to broader settings. Fractal theorems are obtained for generalized fractals generated by condensing mappings and generalized contractions on complete and regular semimetric spaces. The thesis also studies the Hausdorff dimension of generalized fractals in semimetric spaces. A dimension formula is derived in terms of the right-upper Dini derivatives of the comparison functions associated with generalized contractions, yielding a necessary condition that extends Hutchinson’s classical dimension theory. Finally, an axiomatic approach is developed based on set functions and hull operators. This framework unifies various fixed point and fractal results and demonstrates that the Hausdorff measure of noncompactness is not unique in its role. Applications are presented to the degree of nondensifiability and related fractal theorems.