Rácspontszámláló polinomok polinomértékei

Abstract

A dolgozatomban n-dimenziós szabályos testek (rendre kocka, piramis és szimplex) felszínén található rácspontok számlálópolinomjainak polinomértékeit, azaz az $F_n(x)=g(y),$ $G_n(x)=g(y),$ illetve $H_n(x)=g(y)$ szeparábilis diofantikus egyenleteket vizsgálom, ahol $$F_n(x):=(x+1)^n−(x-1)^n,$$ $$G_n(x):=(x+1)^{n-1}+x^{n-1}$$ és $$H_n(x):=\binom{x+n}{n}-\binom{x-1}{n},$$ továbbá $g$ egy racionális együtthatós polinom. A dolgozatom három új eredményt tartalmaz. Az elsőben $n \geq 6$ és $\deg g \geq 3$ esetén, két kivételes esettől eltekintve, ineffektív végességi eredményt bizonyítok a fenti egyenletek $x, y$ egész megoldásaira. A bizonyítás Bilu és Tichy szeparábilis diofantikus egyenletekre vonatkozó ineffektív végességi kritériumán valamint a harmadik tételemen alapul, amelyben leírom, hogy milyen körülmények között írható a fenti három polinom két legalább másodfokú polinom kompozíciójaként. A második tételben a $F_n(x)=g(y),$ $G_n(x)=g(y),$ illetve $H_n(x)=g(y)$ egyenletek $g(y)=Ay^\ell+B$ esetét tekintem, amelyben csak az $A, B, n$ értékektől függő effektív korlátot adok $n \geq 4$ esetén az $\ell$ kitevőre; illetve rögzített $\ell\geq2$ és $n \geq 8$ esetén az $x, y$ egész megoldások abszolútértékére. Ennek bizonyításához meghatározom a vizsgált polinomok, első deriváltjuk és eltoltjaik gyökszerkezetét, majd alkalmazom Schinzel és Tijdeman illetve Brindza szuperelliptikus egyenletekre vonatkozó fent említett eredményeit.