Hatvány egész bázisok algebrai számtestekben

Abstract

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus problémája annak vizsgálata, hogy egy n-edfokú algebrai számtestben mikor létezik hatvány egész bázis, azaz {1,α,...,αn-1} alakú egész bázis. Továbbá fontos kérdés, hogy ha létezik hatvány egész bázis egy számtestben, akkor hogyan határozhatjuk meg az összes hatvány egész bázist generáló elemet. Ez a probléma és ennek általánosítása, adott indexű elemek keresése ekvivalens a megfelelő algebrai számtestbeli index forma egyenletek megoldásával. 1878-ban Richard Dedekind adta az első példát olyan számtestre, amelyben nincs hatvány egész bázis. A témához kapcsolódó kérdésekkel a 20.század elején K. Hensel is foglalkozott. Az 1960-as években H. Hasse vetette fel a fent említett problémát, a hatvány egész bázissal rendelkező‘ testek meghatározását. Győry Kálmán 1976-os effektív eredménye biztosí­tja, hogy egy adott számtestben az index forma egyenletnek csak véges sok megoldása lehet, tehát Z-ekvivalencia erejéig csak véges sok hatvány egész bázist generáló elem létezik. Az általa a megoldásokra adott felső korlátok azonban olyan nagyok, hogy a gyakorlatban nem alkalmazhatók a megoldások megkeresésére. Ennek következtében vált fontossá olyan hatékony algoritmusok kifejlesztése, melyek gyorsan szolgáltatják a választ a fenti kérdésekre. Ilyen eljárásokat eddig csak kis fokszámú számtestek esetén sikerült adni, azok is rendszerint a test típusától függően különböző módszereket kívánnak. Ezekkel bő‘vebben foglalkozik. Jelen dolgozat 2. részében az eddig emlí­tett problémák pontos leírásával, az index formákkal és a hatvány egész bázisokkal kapcsolatos alapvető‘ ismereteket tekintjük át. A dolgozat fő témája Gaál István és Nyul Gábor cikkében szereplő eredmények. Ebben Anthony C. Kable és Gaál I., Pethő‘ Attila és Michael Pohst eredményeit ötvözzük.