A Lie elmélet, a Lie-csoportok és Lie-algebrák elmélete, valamint azok alkalmazásai, a matematika egy alapvető része. A második világháború óta nagyon sok kutatás zajlott a matematika ezen területén. Azóta kiderült, hogy a Lie elmélet számos területet, köztük például a parciális differenciálást, a csoport és gyűrűelméletet, a számelméletet és a fizikát is érinti. Szakdolgozatomban néhány mátrix Lie-csoportot vizsgálok meg. Ezen csoportoknak fontos geometriai, és algebrai tulajdonságaik vannak. Egyik fontos jellemzőjük az, hogy a tér mozgáscsopotjait szemléltetik. Az (1.3)-as fejezetben láthatjuk például, hogy az SO(2) csoport elemei a sík origó körüli elforgatásait szemléltetik, ebből az következik, hogy az SO(2) csoport nem más, mint az origó központú egység sugarú kör, azaz S1. Az ortogonális csoportok mellett vizsgálom még az unitér csoportokat is, melyek érdekessége, hogy elemeik nem valós, hanem komplex elemű mátrixok. Valamint szemügyre veszem a szimplektikus csoportokat is, melyek érdekessége, hogy elemeik kvaternió elemű mátrixok. A Lie-csoportok eleminek és csoportműveleteinek elemzése után megkeresem azok egységelembeli érintő vektorait és érintő terét. Ez azért fontos, mert az exponenciális leképezés egy Lie-csoport egységelembeli érintő terét homomorf módon leképezi a Lie-csoportra. Tehát az exponenciális leképezés homomorfizmus a Lie-csoport és annak egységbeli érintő tere között. A Lie-csoport egység elemre vonatkozó érintő tere azonban nem csak az exponenciális leképezés miatt fontos. Egy Lie-csoport egységelembeli érintő tere vektorteret alkot az R felett. Értelmezzünk egy [U, V ] = UV − V U Lie zárójel műveletet ezen vektortér elemeire vonatkozóan. Ha ezen vektortér a műveletre nézve zárt, akkor a Lie-csoport egységelembeli érintő tere a rajta értelmezett Lie zárójel művelettel együtt, a Lie-csoport Lie-algebráját alkotja.