Általánosított kúpszeletnek nevezzük azon pontok halmazát, amelyeknek az euklideszi koordinátatér valamely rögzített K halmazától mért átlagos távolsága egy adott állandó. Ez a definíció alkalmazható olyan esetekben is, amikor a K halmaz nem feltétlenül véges számosságú. Ekkor az átlagos távolságot egy K felett vett integrál segítségével fejezhetjük ki. Az általánosított kúpszeleteket arra alkalmazzuk, hogy segítségükkel olyan konvex testeket adjunk meg, amelyek invariánsak az ortogonális csoport egy rögzített G részcsoportjának, de nem az egész ortogonális csoport elemeivel szemben. Megmutatjuk továbbá, hogy egy ilyen test Minkowski-funkcionálja olyan norma, amely nem származik belső szorzatból, ugyanakkor erre nézve G minden eleme lineáris izometria.