A szakdolgozat témájául választott metrikus tér egyrészt a hiperbolikus sík Cayley-Klein modelljének egy általánosítása, másrészt egy konkrét példa a Riemann-geometriánál általánosabb Finsler geometriai tértípusnak. A Hilbert-metrika egy konvex tartomány belső pontjainak távolságát adja, éppen azzal a képlettel, amit a Cayley-Klein modell esetében alkalmazunk, csak ott a tartomány speciálisan kör, vagy ellipszis. Látható tehát, hogy e metrikus tér geodetikusai az egyenesek, azaz a konvex tartomány húrjai. Differenciálgeometriai értelemben a teret ilyenkor síkprojektívnak mondják. Dolgozatunkban a szintetikus fogalomépítést alkalmazzuk. Először a tudományos munka alapján megmutatjuk, hogy a távolság valóban teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget, a majd igazoljuk a metrika monotonitását. A második fejezetben, a dolgozat alapján, bebizonyítjuk szigorúan konvex tartományok esetében a metsző húrok tételét, amely az elemi geometriai szelőtételt általánosítja egyenlőtlenség formájában. Majd ugyanezen munka alapján megvizsgáljuk, hogy a D konvex tartományokon értelmezett Hilbert-metrika, elegendő feltételek mellett, mikor Gromov-hiperbolikus. A korábban már tárgyalt metszőhúrok tételét új megvilágításban vizsgáljuk tovább: kapcsolatot létesítünk a hármas határpontok által meghatározott Menger-görbülettel; illetve abban az esetben, ha a határ sima, akkor a differenciálgeometriában alkalmazott görbülettel. A hiperbolikussággal kapcsolatban is kimondunk néhány fontos állítást: a határnak osztálybelinek kell lennie és nem tartalmazhat egyenes szakaszt. Azonban a tetszőlegesen konvex tartományokon értelmezett Hilbert-metrika aszimptotikus tulajdonságairól szóló állításokat igazoljuk Az utolsó fejezetünkben a dolgozat alapján megvizsgáljuk a Finsler-Hilbert-geometriában tetszőlegesen vett két, egymást mesztő geodetikus távolságfüggvényének aszimptotikus viselkedését. Fejezetünkben a Finsler-Hilbert-geometriára szorítkozunk, mert a konstans negatív görbületű sík projektív geodetikusokra nézve teljes, megfordítható Finsler-sokaságok izometrikusak a Hilbert-geometriával.