Diplomamunkám témájául a halmazértékű analízist, és azon belül a folytonos szelekciók elméletét választottam. A halmazértékű leképezések és az egyértékű leképezések közötti kapcsolat kérdése már a kezdetekben felmerült a halmazértékű analízisben. Abban a reményben foglalkoztak ezzel a kérdéssel, hogy elkerülhetik a halmaz értékű leképezésekkel való közvetlen munkát, és azokat az egyértékű leképezéseken keresztül vizsgálhatják, amelyekkel könnyebb bánni. Ehhez az egyik lehetőséget a szelekciók vizsgálata jelenti. Dolgozatomban a folytonos szelekciókat tárgyalom, tehát olyan szelekciókat, melyek egyúttal folytonos leképezések is. Az első fejezetben azokkal az alapvető fogalmakkal foglalkozom, amelyek tisztázása nélkülözhetetlen ahhoz, hogy a halmazértékű analízisről beszélhessünk. Ilyen a halmazfüggvény fogalma, a szubinverz és a szuperinverz bevezetése, stb. Miután ezt megteszem, a fejezet további részeiben a halmazfüggvényekre koncentrálva azok elemi tulajdonságait vizsgálom. A második fejezetet teljes egészében a Hausdorff-Pompeiu távolságnak szenteltem. Megmutatom, hogyan is lehet ezt bevezetni, és milyen tulajdonságokkal bír. A harmadik fejezet két nagy részre bomlik. Az elsőben a halmazfüggvények alulról-, a másodikban a felülről félig folytonosságát vizsgálom. Mindkét folytonosságfogalmat igyekszem nagy részletességgel tárgyalni. A negyedik fejezetben nagyon erősen támaszkodom a harmadik fejezetben elért eredményekre. Ezeket felhasználva meglehetősen gyorsan eljutok Michael alapvető fontosságú, a folytonos szelekciók létezéséről szóló tételéhez. Ezen tétel bizonyításában pedig felhasználom Stone tételét, amelyet a hatodik fejezetben bizonyítok is. A Michael-tétel után pedig néhány szép következményt ismertetek a megfelelő bizonyításokkal együtt. A következő két fejezet célja megfelelő háttérismeret nyújtása elsősorban a topológia témaköréből. Az ötödik fejezetben a felhasznált topológiai fogalmakról adok egy áttekintést. Ebben leginkább Schubertnek az irodalomjegyzékben is szereplő kiváló munkájára támaszkodtam. Az általa is alkalmazott felépítést követtem leginkább a hatodik fejezetben is. Ebben a parakompakt terekkel foglalkozom. Precízen bevezetem a szükséges fogalmakat, és a fejezet végén megfogalmazom Stone első látásra egyszerűnek tűnő, mégis fontos tételét. A bizonyítás is megtalálható, hiszen a negyedik fejezetben leírt Michael-féle szelekciós tétel igazolása erősen támaszkodik erre az eredményre.