A disszertációban különböző polinomiális diofantikus egyenleteket tanulmányoztunk, ahol a vizsgált polinomok valamilyen specifikus, érdekes és/vagy fontos tulajdonsággal rendelkező családhoz tartoznak. Kutatásunk három részre osztható.

Az első téma, amit tanulmányoztunk, a következő: mit mondhatunk az egész pontok számáról bizonyos "érdekes" halmazokban (például egyes szabályos testekben)? Leginkább az n-dimenziós kockára, gúlára és szimplexre koncentráltunk. Mi most ezeknek a testeknek a felületén található egész pontok számlálásának a problémájával foglalkoztunk.

A következő témánk kiindulópontja Erdős és Selfridge egy klasszikus tétele: két vagy több egymást követő pozitív egész szám szorzata nem lehet teljes hatvány. Ennek a problémának több különböző kiterjesztése is ismert. Az egyik irány az, hogy mennyire lehet megzavarni ezt a struktúrát úgy, hogy hasonló végességi eredményeket kapjunk. Mi olyan polinomokat vizsgáltunk, melyek gyökei szimmetrikusak, de megengedtünk tetszőlegesen nagy különbségeket közöttük.

Végül, a disszertáció ötödik fejezetében a Littlewood polinomok, azaz a +1, -1 együtthatójú polinomok négyzet értékeit vizsgáltuk. A megoldások számának végessége szempontjából a Littlewood polinomok polinomértékeit Hajdu, Tijdeman és Varga már tanulmányozták. Mi az egyenlet összes megoldásának leírására törekedtünk. Különböző módszerek (például elliptikus görbék, hiperelliptikus görbék, Runge-módszer) kombinálásával sikerült megadnunk az összes megoldást abban az esetben, amikor n=3,5, illetve n 2 és 24 közötti páros szám.

In this dissertation we studied various polynomial Diophantine equations, where the polynomials considered belong to some specific family with some interesting and/or important feature. Our research can be divided into three parts.

The first topic we studied is the following: what can we say about the number of integral points in some 'interesting' sets (e.g., in certain regular solids)? In particular, we focused on the following solids: n-dimensional cube, pyramid and simplex. Here we considered the problem of counting integral points on the surface of these solids.

The starting point of the next topic we studied is a classical theorem of Erdős and Selfridge: the product of two or more consecutive positive integers cannot be a perfect power. This problem has been extended into various directions. One direction is that how far one can 'disturb' this structure still to have definitive (finiteness) results. We studied polynomials with symmetric roots, however, we allowed arbitrarily large gaps among them.

Finally, in the fifth chapter of the dissertation we studied square values of Littlewood polynomials, i.e. polynomials with all coefficients equal to +1 or -1. The polynomial values of Littlewood polynomials, from the point of finiteness of solutions, have already been studied by Hajdu, Tijdeman and Varga. Here we shall be interested in finding all solutions of the equation. Combining various methods (e.g. the theory of elliptic curves, hyperelliptic curves and Runge's method), we succeeded to list all solutions in cases n=3,5 and in case of n is even and between 2 and 24.