Egyensúlyi tételek a közgazdaságtanban

Abstract

A szakdolgozatom témája a közgazdasági egyensúly matematikája. Az első fejezetben rendkívül általános feltételek mellett, egy a versenygazdaság egyensúlyára vonatkozó tételt mutatok be. Ez a tétel nagyvonalakban azt állítja, hogy ha a résztvevők mindegyike valamennyi áruból pozitív készlettel rendelkezik, akkor a gazdaságban létezik a versenyegyensúly. Az egyensúly létezését a termelés, a fogyasztás és a csere közös modelljében mutatjuk meg. A tétel bizonyításához bevezetjük az elvont gazdaság fogalmát és ebben megadjuk az egyensúly egy definícióját. Kimondunk egy tételt (Nash lemma), amely biztosítja az egyensúly létezését az elvont gazdaságban. Ezután a versenygazdaságunkból konstruálunk egy elvont gazdaságot és megfeleltetjük az egyensúlyi pontokat egymásnak. Igazoljuk, hogy az elvont gazdaságunk kielégíti a versenyegyensúlyra vonatkozó feltételeket. Kiderül azonban, hogy ez az elvont gazdaság nem elégíti ki maradéktalanul a Nash lemma feltételeit, ezért konstruálunk egy újabb elvont gazdaságot, ami már a Nash lemma minden feltételének eleget tesz. Ezután megmutatjuk, hogy az elvont gazdaságok egyensúlyi pontjai egybeesnek. Mivel a versenygazdaság és az elvont gazdaság egyensúlyi pontjait már megfeleltettük egymásnak, ezért a tétel igazolást nyer. A második fejezetben a Brouwer-féle fixponttétel segítségével igazolunk egy egyensúlyra vonatkozó tételt. Először itt is megadjuk a gazdaság modelljét, majd definiáljuk az egyensúlyt. Ezután ismertetjük a Brouwer-féle fixponttételt. Utána készítünk egy leképezést és megmutatjuk, hogy ennek fixpontjai a gazdaság egyensúlyával lesznek ekvivalensek. Az egyensúlyi tétel helyessége ebből és a Brouwer-féle fixponttételből azonnal következik.