Figurális számok és diofantikus egyenletek

Abstract

Jelen disszertáció két nagyobb témakörre bomlik. Először a figurális számok egyenlő értékeit vizsgáljuk. A figurális számok általános alakban felírhatók egy k-adfokú, m paramétertől függő polinommal, amely az X-edik m-szög alapú számot jelöli k dimenzióban. A polinom k=2 esetben a poligonális (vagy sokszög) számokat, k=3 esetben a piramidális számokat határozza meg. A disszertációban effektív végességi állítást adunk a piramidális és poligonális számok, illetve ezt kiterjesztve a figurális számok és poligonális számok közös értékeire vonatkozó egyenletekre. Mordell egy klasszikus eredményét általánosítjuk a figurális számokkal, amelyre szintén effektív végességi állítás igazolható. A bizonyításokban Baker, Brindza illetve Grytzuk és Schinzel eredményeit használjuk fel. Az értekezés másik része az Erdős-Graham probléma speciális eseteivel foglalkozik. Négy különböző egyenletet vizsgálunk, amelyek megoldásaira a Runge-módszerrel korlátokat nyertünk. A nagy megoldások esetén x osztója egy pozitív egész számnak, a kis megoldások nagyságára Fujiwara eredményének segítségével kaptunk felső korlátot, amely tetszőleges polinom gyökeire vonatkozik.

The present dissertation contains results concerning the equal values of figurate numbers. We can give the figurate numbers with a k-degree polynomial, where m is an integer paramater. This polynomial means the Xth figurate numbers in k dimension. In the cases k=2 or k=3 we get the polygonal and pyramidal numbers, respectively. In the dissertation we give effective finiteness statements concerning the equal values of pyramidal and polygonal numbers, and the eqaul values of generalized figurate and polygonal numbers. We generalize an classical equation of Mordell with figurate numbers and give effective finiteness statement. We apply the result of Baker, Brindza and Gryrtzuk and Schinzel for the proofs. The second part of the dissertation contains four special cases of the problem of Erdős and Graham. We apply the Runge method which leads to the bound. In our proofs we use the result of Fujiwara concerning the size of the roots of an arbitrary polynomial.