Az Eukleidész Elemek c. könyvében szereplő síkgeometria egyenesek és körök geometriájaként írható le, amelynek eszközei az egyenes él és a körző. Georg Mohr dán geométer és az olasz Lorenzo Mascheroni (1750—1800) egymástól függetlenül ki¬mutatták, hogy semmit sem vesztünk, ha elhagyjuk a vonalzót és csak a körzőt használjuk. Például, adva van négy pont: A, B, C, D, ekkor meg tudjuk határozni azt a pontot, ahol az AB és CD egyenesek — ha volna eszközünk megrajzolni őket —találkoznának. Természetesen azonnal felmerül a kérdés, mi marad, ha csak a vo¬nalzót használjuk, a körzőt pedig elhagyjuk. Felépíthető-e egyáltalán olyan geometria, amelyben nincsenek körök, távolságok, szögek, nincs „között – van” reláció és nincsenek párhuza¬mosok? Meglepő, de a válasz igen: ily módon eljutunk a projektív geometriához, ahhoz a szép és bonyolult tételrendszerhez, amely egyszerűbb, mint az Eukleidész-féle. Az axiómáktól és egyszerű tételektől a váratlan tételekig vezető átmenet. Bár pontokkal, egyenesekkel, síkokkal foglalkozik, nem törekszik két pont között távolságot vagy két egyenes között szöget mérni. Továbbá nincs két olyan – egy síkban fekvő – egyenes, amelyeknek ne lenne közös pontjuk (vagyis nincsenek – euklideszi értelemben – párhuzamos egyenesek). Ennek a geometriafajtának a szépművészet volt a kiindulópontja. Brunelleschi olasz építész vizsgálta elsőként a perspektíva geometriai elméletét. A sík projektív geometriáját azoknak a geometriai tulajdonságoknak a vizsgálataként írhatjuk le, melyek középpontos vetítéssel nem változnak. Ilyen vetítéssel például akkor találkozhatunk, ha egy csempézett padló képét lerajzoljuk egy függőleges lapra. A csempék nem maradnak meg négyzet alakúnak, oldalaik és szögeik eltorzulnak. Ezzel szemben az egyenes vonalak továbbra is egyenesek maradnak, így a projektív geometria foglalkozik háromszögekkel, négyszögekkel, de derékszögű háromszögekkel, paralelogrammákkal és más effélékkel nem. Többszáz évvel ezelőtt Johannes Kepler német csil¬lagásznál és Girard Desargues francia építésznél jelent meg a végtelen távoli pont fogalma. Desargues azt is megfogalmazta, hogy a párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak, valamint hogy ha egy egyenesnek véges távolságban nincs pontja, akkor az egyenes minden pontja végtelen távolságban van. A szokásos geometriától való függés 1871-ben bom¬lott fel végleg, amikor is Félix Klein – a homogén koordináták révén – algebrai alapot adott a projektív geometriának. A pont két egyenes révén való megadhatósága szép párhuzamot mutat az egyenes két pont révén való megadhatóságával. Általánosab¬ban is azt fogjuk látni, hogy a síkban minden, pontokra és egyenesekre vonatkozó állítás felcserélhető egy egyenesekre és pontokra vonatkozó úgynevezett duális állítással. Ez a he¬lyettesíthetőség a „dualitás elve”, ezáltal e geometria sokkal szimmetrikusabb lesz, mint az euklideszi geometria. E belső szépség mellett a projektív geometria hasznos is, újszerű megközelítést nyújt az euklideszi geometriához.