A diplomamunka témájának olyan metrikus tér geometriai vizsgaltát választottam, amely egyrészt általánosítását jelenti a hiperbólikus sík Cayle-Klein modelljeinek, másrészt egy konkrét példa Rieman geometriánál sokkal átalánosabb un. Finsler geometriai tértipusnak. Ezt a példát D.Hilbert említette először 1895-ben, majd differenciálgeometriai szempontból P.Funk vizsgálta, s kesőbb sokan, mind a mai napig.(Lásd az irodalomjegyzéket.) Számos vizsgálat szintetikus jellegű, e dolgozatban elsősorban ezekre térünk ki. A Hilbert metrika egy konvex tartomány belső pontjainak távolságát adja, éppen azzal képlettel,amit a Cayle-Klein modell esetében is alkmazunk, csak ott a tartomány speciálisan kör vagy elipszis. Könnyen láható, hogy e metrikus tér geodetikusai az egyenesek, azaz konvex taromány húrjai.Differnciálgeometriai étlemben a teret ilyenkor síkprojektornak mondjá. A másik, de sokkal nehezebben igazolható differnciálgeometriai eredmény (Lásd T.Okada dolgozatét), hogy a Hilbert-metrika görbület negatív konstans, épp úgy mint a Cayle-Klein modell esetén. Dolgozatunkban a szintetikus fogalomépítést alkmazzuk. Először megmutatjuk, hogy a távolság valóban teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget,majd a metrika monotonitását igazoljuk. A harmadik fejezetben szigorúan konvex tartományok esetében bebizonítjuk a metsző húrok tételét, amely az elemi geometriai szelőtételt általánosítja egyenlőtlenség formájában. A nagyedik fejezetben a pontbeli pozitív, illetve negatív görbület fogalmát adjuk meg H. Busemann-t követve. E szerint a görblet pl. negatív, ha a pont egy környezetében tekintett bármely háromszög középvolata legfeljebb fele hosszúságú, mint a megfelelő oldal. A fejezet főtétele azt fejezi ki, hogy amennyien a tartomány minden pontja ugyanolyan görbülető (pl. negatív), akkor a tartomány csakis ellipszis lehet, másszóval a metrika éppen a Cayley-Klein féle metrika. Úgy is fogalmazhatunk, hogy ekkor a metrika Reimann-metrika. Az utolsó tétel azt állítja, hogy a pozitív görbületú eset nem is lehetséges.