This PhD dissertation contains new results related to the theory of approximate convexity. In Chapter 1, we introduce Takagi-like functions, which are motivated by the fact that they appear naturally in the investigation of approximate convexity. The main results of this chapter is the examination of approximate Jensen convexity of these Takagi type functions. In Chapter 2, we will investigate the connections between approximate upper Hermite-Hadamard type inequality and Jensen type inequalities. Chapter 3 deals with some connections between lower Hermite--Hadamard type inequalities and convexity type inequalities. Ez a PhD értekezés a közelítőleg konvex függvények vizsgálatával foglalkozik. Az első fejezetben olyan Takagi-típusú függvényekkel foglalkozunk, amelyek fontos szerepet játszanak a közelítőleg konvex függvények elméletében. Ennek a fejezetnek a fő eredménye Takagi-típusú függvények közelítő Jensen-konvexitását állítja. A második fejezetben a felső Hermite-Hadamard-féle és a Jensen-féle egyenlőtlenségek kapcsolatát vizsgáljuk. A harmadik fejezetben pedig alsó Hermite--Hadamard-féle és konvexitás típusú egyenlőtlenségek kapcsolatával foglalkozunk.