A dolgozat témája a Banach-Tarski-paradoxon, és az azt övező elmélet áttekintése. A Banach-Tarski-paradoxon szerint a gömb egybevágósági transzformációk segítségével megduplázható. Célunk volt betekintést nyújtani a paradoxon bizonyítását övező elméletbe. Ismertetjük a szabad, majd a paradox csoportok konstrukcióját. Megmutatjuk, hogy a tér izometria-csoportja tartalmazza a kétgenerátorú szabad csoportot. Majd bizonyítjuk a Hausdorff-paradoxont, mely szerint a gömbhéj egy megszámlálható halmaz elhagyásával már paradox a tér izometria-csoportjára nézve. Megismerkedünk a G-egymásba darabolhatóság fogalmával, és annak néhány tulajdonságával. Nevezetesen azzal is, hogy amennyiben két halmaz G-egymásba darabolható és az egyik paradox egy G csoportra nézve, akkor a másik is paradox a G-re nézve. Majd a Hausdorff-paradoxon és G-egymásba darabolás tulajdonságai felhasználásával bizonyítjuk a Banach-Tarski-paradoxon gyenge, majd erős állítását is. A dolgozat utolsó részében átfogóbban megismerjük a Banach-Tarski-paradoxon konstrukciójának felépítését, annak egy 2-dimenziós vizsgálatán keresztül. A dolgozatot egy jelentős magyar eredménnyel, Laczkovich Miklós tételével zárjuk, mely szerint csupán eltolások segítségével átdarabolható az egységnyi területű kör az egységnégyzetbe a síkban.