A konvexitás általánosításai

Abstract

Konvex struktúrák: Legyen az X halmaz részhalmazainak egy családja C. Ezt konvexitásnak hívjuk X-en, ha az alábbi feltételek teljesülnek: (C-1) az üres halmaz és az X halmaz elemei C-nek; (C-2) C zárt a metszetképzésre; azaz, ha D egy nemüres halmazcsalád, és D½C, akkor \D is eleme C-nek; (C-3) C zárt az irányított unióképzésre; azaz, ha D egy nemüres halmazcsalád, mely rendezett a tartalmazásra nézve, és D ½ C, akkor [D is eleme C-nek. Az (X,C) párt konvex stuktúrának nevezzük. A C elemeit konvex-, azok komplementereit konkáv halmazoknak hívjuk. A (C-1) axióma alapján az X konvex struktúra egy A részhalmazát legalább egy konvex halmaz, azaz X tartalmazza. Figyelembe véve a (C-2) axiómát, A-t tartalmazza egy legkisebb konvex halmaz: co(A) = \fB j A ½ B 2 Cg; amelyet az A halmaz (konvex) burkának nevezünk. A co(F) típusú halmazokat, amennyiben F véges, politópoknak hívjuk. A (C-1) axióma alapján az üres halmaz politóp. Azért, hogy megismerjük a (C-3) axióma jelentoségét egy olyan struktúrát tekintünk, amelyben ez az axióma nem érvényes...