Klasszikus középértéktételek és általánosításaik

Abstract

A dolgozat klasszikus középértékeket és általánosításaikat mutatja be. A klasszikus kétváltozós közepektől a hatványközepeken át modern középértékekig (mint Gini- és Stolarsky-közép) ad betekintést a közepekről és a rájuk vonatkozó egyenlőtlenségekről. Az 1. fejezet a középérték fogalom kialakulásával foglalkozik, az ókori görögök ismereteit foglalja össze. A kor nagy matematikusai által ismert közepek és azok értelmezéseinek egyfajta gyűjteménye található ebben a fejetetben. A 2. fejezet a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség néhány bizonyítását mutatja be, melyek fontos általánosítások alapjául szolgálnak. A 3. fejezetben a középérték definíciója után a közepekre jellemző legfontosabb problémák vannak összegyűjtve. Ezek az egyenlőtlenségek meghatározó jellemzői a középértékeknek, a továbbiakban ezekről van szó. Az 4. fejezet a hatványközepek definíciója és speciális eseteinek bemutatása után két közép összehasonlításának feltételeit és a Hölder- és Minkowskiegyenlőtlenség teljesülésére vonatkozó tételeket tárgyalja. A 5. fejezetben a Gini- és Stolarsky-közepeket jellemző tulajdonságok és egyenlőtlenségek találhatóak. Két Gini vagy két Stolarsky-közép összehasonlíthatóságának feltételei, a homogén tulajdonság és következményei és a Minkowski-egyenlőtlenség teljesülésére vonatkozó tételek vannak a fejezetben. Végezetül a különböző közepek egyenlőségére ad feltételt az utolsó rész.