A diplomamunkám első fejezetében komplex számok műveleteinek segítségével definiálom a hasonlósági transzformációkat, tanulmányozom az inverzió leképezését, a sztereografikus-projekciót, a Riemann-gömböt és a húrtávolságot. A második fejezetben bemutatom a Möbius transzformációk csoportját, a csoport generátorait. Bebizonyítom, hogy a Möbius-transzformációk szigorúan 3-tranzitívan hatnak a Riemann-gömbön. Megadom a Möbius-transzformációk egy osztályozását a transzformáció fixpontjának felhasználásával. A Möbius-transzformációk kör- és szögtartó leképezések, de általában nem izometriák. A harmadik fejezetben bevezetem a Schottky-csoport fogalmát, amely két loxodromikus leképezés és annak inverzeik, mint szavak által generált szabad csoport. Megadom a Schottky-csoport fagráf reprezentációját és a határpontjai és végtelen szavai közötti összefüggést, valamint három eljárást a határpontok ábrázolására. Az utolsó két fejezetben olyan geometriai síkgeometriai problémákat vizsgálok, amelyek a komplex számokkal végzett műveletekkel könnyen megmutathatók. Belátom, hogy egy egyenesekből álló halmaznak minden az origóra vonatkozó talpponti- és metszéspont alakzata hasonló. Megmutatom, hogy egy háromszög köré írt kör tetszőleges pontjából az oldalegyenesekre állított merőlegesek talppontjai egy egyenesen a Simson egyenesen vannak. Bebizonyítom, hogy négy pont kettősviszonya, akkor és csakis akkor valós, ha egy körön vagy egy egyenesen vannak. Becslést adok annak a körgyűrűnek annak a külső-, belső sugarára, amely tartalmazza egy n-ed fokú komplex számtest feletti polinomnak minden gyökét. Végezetül két állítást mutatok be inverzió alkalmazására.