On the geometry of Finsler vector spaces

Abstract

A dolgozatom egyik fő célkitűzése az ún. Finsler-normák átfogó és részletes vizsgálata, a lineáris algebra és az elemi analízis eszközeivel, geometriai nézőpontból. Kiindulópontul M. Crampin dolgozatának bevezető észrevételei szolgáltak. Az itt szereplő állítások arra adnak szükséges és elegendő feltételeket, hogy egy általánosabb pre-Finsler norma milyen esetben válik Finsler-normává. A dolgozatomban részben hasonló kérdésekre keresek választ. Egy Finsler-normából természetes módon számos további geometriai objektum konstruálható, például a norma egységgömbje, vagy a csatolt Riemann-struktúra. Mindegyik esetben felmerül a kérdés: megfordítható-e a konstrukció, vagyis például az egységgömb birtokában miként rekonstruálható a Finsler-norma. Ilyen kérdések megválaszolásával újabb feltételeket kapunk arra, hogy egy általánosabb objektum mikor válik Finsler-normává, egyúttal geometriai jellemzését is kapjuk a Finsler-normáknak. Hasonlóan érdekes kérdés, hogy egy Finsler-norma mely feltételek teljesülése mellet redukálódik euklideszi normára. Dolgozatomban részletesen foglalkozom ilyen kapcsolatok feltárásával.