Számelméleti függvények

Abstract

A számelmélet a matematika egyik legrégebbi ága, sok szempontból kitűnik a matematikai diszciplinák közül. Itt található a legtöbb megoldatlan sejtés, amelynek jórészt az az oka, hogy bár a számelméleti problémák és sejtések könnyen megfogalmazhatóak, megoldásukhoz viszont gyakran nagyon mély és nehéz módszerekre van szükség. Mivel ezek a módszerek a sejtések megfogalmazásakor nem álltak rendelkezésre, sok esetben ezek a sejtések a matematika új ágainak kialakulásában is jelentős szerepet játszottak. A számelmélet önálló tudományággá válásához Fermat, Euler és Gauss zsenije, illetve egyéb ágak, mint például az analízis, algebra, stb. megfelelő fejlettsége volt szükséges. Gauss ismert mondása szerint a matematika a tudományok királynője, a számelmélet pedig a korona a királynő fején. Diplomamunkámban rendszerezett formában mutatom be néhány számelméleti függvény legalapvetőbb tulajdonságait, továbbá ehhez kapcsolódóan néhány nehezebb tulajdonságot, a nagyságrendjüket, illetve tárgyalom a számelméleti függvények konvolúciójának legfontosabb tulajdonságait. Célom az volt, hogy az egyetemi tanulmányaim során megszerzett tapasztalatokon túl megmutassam a számelméleti függvények ezen kapcsolódó tulajdonságait és ebből a témakörből minél több alapvető ismeretet áttekintsünk. Remélem, hogy diplomamunkám segítséget fog tudni nyújtani azoknak, akik jobban el szeretnének mélyülni ebben a témakörben.