A 2 × 2 × 2-es méretű Rubik-kocka szimmetriacsoportja

Abstract

A Rubik-kockára 1974 óta érdeklődve tekintenek a játszani vágyók, a versenyzők és a matematikusok is. A dolgozatban a 2x2x2-es méretű Rubik-kocka szimmetriacsoportját igyekszünk megérteni. Ehhez a 2. fejezetben meghatározunk egy felső becslést a kocka szimmetriacsoportjára, amelyhez szükséges bevezetnünk a szemidirekt szorzatot és a koszorúszorzatot. Itt kiderül számunkra, hogy a szimmetriacsoport egy részcsoportja egy olyan koszorúszorzatnak, amely egy háromelemű ciklikus csoportból és egy nyolcelemű szimmetriacsoportból áll. Ezután a 3. fejezetben felfedezzük, hogy a kockának létezik egy invariáns mennyisége. Ezt az ismeretet felhasználva megmutatjuk, hogy a kocka szimmetriacsoportja a fentebb említett koszorúszorzatban legfeljebb egy három indexű részcsoport. Ezt követően egy alsó becslés meghatározása a célunk a 4. fejezetben. Itt világossá válik számunkra, hogy az alsó és a felső becslés megegyezik, tehát a kocka szimmetriacsoportjának az elemszáma megadható. Így a 2x2x2-es méretű Rubik-kocka szimmetriacsoportja pontosan egy három indexű részcsoportja a fent említett koszorúszorzatnak. Az 5. fejezetben egy összetett algoritmust kínálunk a kocka kirakására. Végül a 6. fejezetben rámutatunk a kocka érdekes tulajdonságaira, figyelmet fordítunk az Isten számára és az Isten algoritmusára, valamint az ördög számával és az ördög algoritmusával is foglalkozunk.