Dolgozatom témája a területmérték az abszolút geometriák általánosságában, majd az euklideszi- , és a hiperbolikus geometria keretein belül. A munkám fő irányvonalát R. S. Millman és G. D. Parker [ 3 ] műve képezi. A témát is érintő további felhasznált irodalmak főként az előzmények ( fogalmak, segédtételek ) összegyűjtését segítették. A kezdő fejezetben az abszolút síkgeometria néhány –a dolgozat célja szempontjából elengedhetetlen- eredménye kerül tárgyalásra axiomatikus felépítésben. Konkrétan itt definiálom az illeszkedési geometriákat, a metrikus geometriákat, a Pasch- geometriákat, továbbá megfogalmazom azokat az alapvető tételeket, melyekre az ezt követő fejezetekben, mint „alapkövekre” utalunk vissza. Ilyen nevezetes tételek pl. a „pons asinorum”; a kongruencia- alapesetekre vonatkozó tétel; a klasszikus háromszög egyenlőtlenség. A fejezet végén bevezetem magának az euklideszi- és a hiperbolikus geometriának a fogalmát. Mint látható, az abszolút síkgeometria témakörének egy piciny szelete kerül itt vázlatos bemutatásra. A második fejezetben a hasonlóság elméletének csupán a témával legszorosabban összefüggő elemeit tekintjük át. A dolgozat központi témája -a területfüggvény– a harmadik fejezetben kerül bevezetésre. Feltételezve egy területfüggvény létezését, levezetjük a téglalap, a háromszög, a trapéz területképleteit. A további fejezetekben a területfüggvény vizsgálatát leszűkítjük a két klasszikus abszolút geometriára. Az euklideszi esetben a területfüggvényt a távolság felhasználásával konstruáljuk meg. A sokszögek területeit visszavezetjük a sokszöget felépítő háromszögek területösszegére, majd végül igazoljuk az euklideszi területfüggvény unicitását. A hiperbolikus esetben szintén megmutatjuk, hogy létezik területfüggvény, és csakis egy van. Hiperbolikus geometria keretei között azonban ennek igazolása eltérő lesz a korábbiakban látottaktól, hiszen ebben az esetben a párhuzamos egyenesek sem egyértelműek, és a háromszögek területét is másként kell definiálnunk. A fejezet fő eredményeként a defektusfüggvényről belátjuk, hogy területfüggvényt szolgáltat a hiperbolikus geometria számára.