Szemiaffin és affin leképezések

Abstract

Az affin geometria jól ismert és klasszikus tétele, hogy minden kollineáció , azaz bijektív, egyenestartó leképezés két affin tér között, egyúttal affin térizomorfizmus is. Szakdolgozatomban Alexander Chubarev és Iosif Pinelis: Fundamental theorem of geometry without the 1-to-1 assumption című cikke alapján bebizonyítjuk az említett tétel egy általánosabb verzióját. Speciális esetként a klasszikus tétel új bizonyításához jutunk. Felelevenítjük a Hilbert-féle illeszkedési tér és az affin tér fogalmát, az utóbbihoz csatolt test és vektortér konstrukcióját pedig vázlatosan áttekintjük. Megadjuk a szemiaffin és az affin leképezések definícióját, melyek a legalapvetőbbek az affin tér morfizmusai közül. A részleteket illetően Radó Ferenc és Orbán Béla: A geometria mai szemmel című könyvére utalunk. Az utolsó fejezetben rátérünk a tétel általánosabb verziójának bizonyítására. Egyrészt kollineáció helyett, mely klasszikus fogalma szerint bijekció, csak szürjektív leképezést tekintünk, másrészt gyengítjük az egyenestartás ( „egyenest egyenesre” ) követelményét is: csak annyit feltételezünk, hogy bármely egyenes képe egyenes részhalmaza ( „egyenest egyenesbe” ). Érdekességképpen megemlítjük, hogy egy viszonylag friss, 1999-ben publikált cikkről van szó, amely klasszikus területen tudott új eredményt elérni.