Hatvány egész bázisok a legegyszerűbb harmadfokú számtestekben

Abstract

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus problémája annak eldöntése, hogy egy n-ed fokú K algebrai testben létezik-e hatvány egész bázis, ami nem más mint egy {1, α, . . . , α ⁿ−1} alakú egész bázis. Ez azzal ekvivalens, hogy a ZK gyűrű monogén, azaz Z[α] alakú. A problémát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a cél olyan algoritmusok keresése, amelyek előállítják a hatvány egész bázisok minden α generátorelemét. Alacsonyabb fokú számtestekre (különösen harmad- és negyedfokú testekre) ezt a problémát sikerült megoldani és hatékony módszerek vannak magasabb fokú testek bizonyos osztályai esetén is. A témának számos többé-kevésbé független alkalmazási lehetősége van; például részben az indexforma egyenletek tanulmányozásának következménye a diofantikus egyenletek megoldására szolgáló konstruktív eljárások fejlődése, a hatvány egész bázisokkal pedig könnyen végezhetők aritmetikai számítások ZK-ban, főleg a szorzás válik ezáltal könnyebbé. Ez csak néhány ok, hogy érdekessé váljon nemcsak a ZK monogenitásának eldöntése, hanem a hatvány egész bázisok összes generátorelemének a meghatározása.