A Lie group is smooth manifold which also carries a group structure whose multiplication and its inverse operation are smooth as maps of manifolds. Similarly to Lie group, we can consider a loop as an algebraic and as a differential geometric notion, as well. In the second chapter, several concepts and results from the theory of Lie group are investigated for n-loops, i.e. for non-associative multiplication. In the third chapter, it has been shown how useful the tools of differential geometry can be also in biomedical imaging. When the diffusion is anisotropic, a scalar diffusion measure is insufficient for describing diffusion properties. In this case, the diffusion can be described by a second-order diagonally symmetric tensor, called the diffusion tensor. In the fourth chapter, the generalization of the classical majority voting model is proposed by introducing values describing the probability of making a good decision, when we have exactly k good votes from the n voters. This generalization is motivated by object detection problems, where the members of the ensemble are image processing algorithms giving their votes as pixels in the image domain. We investigate how dependencies among the voters influence the accuracy of the ensemble. At last, the final decision rule of the ensemble is modified which results in further improvement of the system accuracy. This generalization is based on the assignment of weights to the ensemble members (classifiers).

A Lie-csoport egy sima sokaság, amelyen olyan csoportstruktúra adható meg, ahol a szorzásművelet és annak inverze is sima leképezések. A Lie-csoporthoz hasonlóan, egy loopot is definiálhatunk algebrai és differenciálgeometriai struktúraként egyaránt. A 2. fejezetben számos, a Lie-csoport elméletéből ismert fogalmat és eredményt vizsgálunk meg a loopok szempontjából, ahol elhagyjuk a szorzás asszociatív tulajdonságát. A 3. fejezetben megmutatjuk, hogy a differenciálgeometria eszközei milyen hasznosak lehetnek akár az orvosi képalkotás terén is. Anizotropikus diffúzió esetén ugyanis a skalár diffúziós együttható már nem elegendő a diffúzió tulajdonságainak leírására. Ebben az esetben a diffúziót egy másodrendű, szimmetrikus tenzorral lehet jellemezni, melyet diffúziós tenzornak nevezünk. A 4. fejezetben általánosítjuk a klasszikus többségi szavazómodellt valószínűségi értékek bevezetésével, melyek a jó döntés valószínűségét írják le, amennyiben az n (összes) szavazat között pontosan k helyes található. Ezt az általánosítást azok a detektálási problémák motiválták, ahol az összetett rendszer tagjai képfeldolgozó algoritmusok, melyek szavazatként a kép egy pixelét adják vissza. Megvizsgáltuk, hogy az osztályozók függősége mennyire befolyásolja az összetett rendszer pontosságát. Ezt követően módosítjuk a végső döntés meghozatalára vonatkozó szabályt, mely további javulást eredményez az összetett rendszer pontosságában. Az általánosítás arra épül, hogy súlyokat rendelünk az osztályozókhoz.