A disszertáció a matematikai modellálás filozófiai problémájával foglalkozik. Kifejtése alapvetően tematikus jellegű, metamatematikai, logikai, halmazelméleti, aritmetikai és geometriai témákat elemez és ezeket matematikailag releváns filozófiai kérdésekhez kapcsolja. Az alapvető kérdés, amit a dolgozat feszeget: mi a kapcsolat a pre-analitikus fogalmakkal rendelkező informális matematika és a definíciókkal, valamint szakmai axiómákkal dolgozó formális matematikai elmélet között? A disszertációban bizonyítunk egy lehetetlenségi tételt, amely alapján azt állítjuk, hogy a matematika számos szempontja, így a matematikai entitások (számok, struktúrák, a végtelen absztrakciója), matematikai és logikai módszerek (pl. bizonyítási módok), az algoritmuselmélet alaptézise (Church-Turing-tézis), de még az elsőrendű logika adekvátsága is – Quine szavaival élve – ontológia-függő. Ez azt jelenti, hogy a „konzisztens matematikai tudás” feltétele mellett, bizonyos szempontok nem tarthatók fent anélkül, hogy egy matematikus ne tisztázza magáról, hogy platonista vagy konstruktivista. Ugyanakkor, példákat adunk, hogy ezzel paradoxonok zsákutcájába jut intuíciónk, és megkérdőjelezhető, hogy a kiindulásként vett definíciókat és szakmai axiómákat tényleg igaznak vehetjük-e.
Az ellentmondások feloldására, Lakatos Imre „bizonyítások és cáfolatok” módszerét használjuk, és egy formálódó metafizikai szemléletre teszünk javaslatot. Kiindulási pontunk egy informális háttér, amelyből fogalmak és levezetések generálódnak. Új tételek, elméletek jönnek létre, amelyek azonban nem stabilak és végérvényesek, mivel fogalmaik és bizonyításaik sem azok. Az elmélet fogalmainak jelentése a nyelven kívül, kognitív úton körvonalazódik, az elmélet alkalmazásában ölt testet, majd visszahat a nyelven kívüli, informális háttérre. S ez az oda-visszafelé történő mozgás folyik szüntelen: ez az „élő matematika”. A „bizonyítások és cáfolatok” módszere egy olyan episztemiológiai pozíciót képvisel, amelynek centrális jelentősége, hogy a matematikát fejlődésében vizsgálja. Nincsenek statikus fogalmak a matematikai elméletekben, és a matematikai diskurzust nem lehet átfogó világképhez és kommunikációs formához kötni. Egy matematikai elmélet megragadható mentális-nyelvi konstrukcióként, és ez a konstrukció korlátozott és ontológiailag elkötelezett. Ezért a világ azon része, amit megszólítunk elméleteinkkel emberarcú lesz, amit pedig nem, rejtetten – például paradoxonok álruhájában – misztikumként jelenik meg „megszólított” világunkban. Ez a misztikum egyrészt értelmezhető a kanti magánvalóként (Ding an sich) [dualista metafizikai interpretáció]. Értelmezhető ugyanakkor úgy is, mint egy komplexus, amelynek minden egyes alkotórésze (Gestalt) meghatározott módon viszonyul egymáshoz, és amelyek fogalmaik (Wittgeinstein) vagy formáik (Spencer Brown) révén kiszakítottak az egészből [monista metafizikai interpretáció]. Ebben a felfogásban az „élő matematika” egy potenciálisan végtelen, autopoetikus rendszer, amelyben tükröződik az is, ami kívül esik rajta (pl. „nem szándékolt” modell, paradoxonok). A dualista szemlélet a matematikai ihletet a matematikus szellemi tevékenységének tartja, ezért a kivételek és az antinómiák kezelésére „kivétel-kizáró” módszert és leszűkítéseket alkalmaz a problémamegoldás és formalizálás során. A monista szemlélet a „bizonyítások és cáfolatok” módszerét használva, állandóan „benne van” a problémában a problémamegoldás során. Számára egy axiomatikus rendszer kontingens: nem fejez ki logikai szükségszerűséget, mégis úgy működik, mintha valami szükségszerűséggel bírna. A matematika formális rendszereinek nincs szüksége egzisztencia-feltevésre, mert megfelelően előkészített formális rendszer automatikusan termeli komplex formáit. A rendszert nem lehet evidenciával vagy bizonyítással alátámasztani, de megcáfolni sem, mert ezek nem csak az igazolás, hanem az érvelés feltételeit is jelentik. Azonban éppen itt érhetők tetten informális egzisztencia-előfeltevések, amelyeken a formális konstrukció alapul, és ami leválaszthatatlan az informális háttérről, amibe – Putnam szavaival – a matematika „noumenális jószágai” is beletartoznak. A matematikus a platonizmus-konstruktivizmus dilemmájába kerül, mert az elméleten belül konstruktivista, az elméleten kívül platonista módon kénytelen szemlélni a tárgyát, és a paradoxonok jelzik, ha átlépi a határt. A matematika olyan önfejlődő rendszer, amelyet tartalom, forma és viszony jellemez, és ami túlnövi bármely alkotójának képzeletét.

The doctoral dissertation considers the philosophical problems of mathematical modeling. The development of the thesis is essentially thematic: metamathematical, logical, set-theoretical, arithmetic and geometric topics are considered, which are joined to mathematically relevant problems. The fundamental question we investigate is the relation between the informal mathematics with pre-analytic notions and the formal mathematics working with definitions and axioms. In the dissertation we prove an impossibility theorem by which we claim that several standpoints of mathematics such as mathematical entities (numerals, structures, infinite), mathematical and logical methods (e.g. proving methods), the basic hypothesis of computation (Church thesis) and even the adequacy of first-order logic, are, in Quine’s words, ontological dependant. This means that certain standpoints cannot be hold under the “consistent mathematical knowledge” if a mathematician does not clear, at least as for the used mathematical and logical methods, that he is either a Platonist or a Constructivist. However, we present examples that our intuition leads to paradoxes as a result of this choice, and it is questionable whether definitions and axioms at the starting point can be considered as something to be true. To resolve contradictions, we use Imre Lakatos’s “proof and refutation” method, and we suggest a metaphysical change of attitude. Our starting point is an informal background from which concepts and proofs are generated. New theorems and theories are created, which are not stable and definitive, because neither do their concepts and proofs. The meaning of the concepts of the theory is sketched outside the language, in a cognitive manner, taking contents in application, and then influences on the informal background outside the language. And this there and back moving is going on and on. This is “living mathematics”. The “proof and refutation” method represents a position in epistemology whose central significant is to investigate mathematics in progress. There are no static concepts in mathematical theories, and mathematical discourse cannot coincide with a comprehensive view of the world or form of communication.
A mathematical theory seems to be mental and lingual construction, which is bounded and ontological committed. That’s why, the part of the world addressed by our theories will receive a human face, and the rest, in disguise of paradoxes, will remain a myth in our “approached” world. This myth might be interpreted as Kantian Ding an sich [dualistic metaphysical interpretation]. However, it might be interpreted also in another way that it is a complex whose each part (Gestalt) is a certain relation to one another, and which is uprooted from the whole either by its concepts (Wittgeinstein) or by its forms (Spencer Brown) [monistic metaphysical interpretation]. In this idea “living mathematics” is a potential infinite, autopoietic system in which also reflects that occurred outside the system (e.g. “non-intended” model, paradoxes). In dualist attitude mathematical intention is due to the spiritual activity of mathematician, therefore to tackle exceptions and antinomies, he applies “exception-expelling” method and restrictions in problem-solving and formalization. In monist attitude the use of the “proof and refutation” method is needed, and thus mathematician of this kind is always in the problem during the problem-solving. An axiomatic system is contingent for him: it does not express logical necessity, but it works as if it was something necessary. The formal systems of mathematics do not require existential presumptions, because if a formal system is adequately prepared, it automatically produces its own complex patterns. System cannot be supported nor refuted, since these are not only the conditions of proof, but also that of reasoning. However, just here there occur informal existential presumptions that the formal construction depend on, and they cannot be separated from the informal background including, in Putnam`s word, the “noumenal goods” of mathematics. Mathematician is in a dilemma of Platonism and Constructivism, because he has to grasp the subject in a constructive way inside the theory and in a platonic way outside the theory, and paradoxes indicate the fact that he has crossed the theory’s threshold. Mathematics is a self-developing system characterized by content, form and liaisons, and it overgrows the imagination of any of its creators.